Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается из предыдущего путём добавления к нему одного и того же числа. Доказательство арифметической прогрессии осуществляется по индукции.
Предположим, что у нас есть последовательность an = 5 + 2n, где n — натуральное число.
1. Базис индукции: При n = 1 получаем a1 = 5 + 2 * 1 = 7.
2. Предположение индукции: Пусть для n = k выполняется равенство ak = 5 + 2k.
3. Индуктивный переход: Докажем, что для n = k + 1 тождество также выполняется.
Имеем:
ak+1 = 5 + 2(k + 1)
= 5 + 2k + 2
= (5 + 2k) + 2
= ak + 2
Таким образом, для n = k + 1 тождество также выполняется, что завершает доказательство арифметической прогрессии последовательности an = 5 + 2n.
- Арифметическая прогрессия: определение и свойства
- Арифметическое выражение для последовательности
- Определение арифметической прогрессии
- Вопрос-ответ
- Как доказать, что последовательность an = 5 + 2n является арифметической прогрессией?
- Как найти следующие три члена последовательности an = 5 + 2n?
- Можно ли представить последовательность an = 5 + 2n в виде рекуррентной формулы?
- Каким будет 10-й элемент последовательности an = 5 + 2n?
Арифметическая прогрессия: определение и свойства
Арифметическая прогрессия (АП) — это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается путем прибавления к предыдущему элементу одной и той же константы, называемой разностью прогрессии.
Общий член арифметической прогрессии может быть найден по следующей формуле:
an = a1 + (n — 1)d
где an — n-й член прогрессии, a1 — первый член прогрессии, n — номер элемента в прогрессии, d — разность прогрессии.
Свойства арифметической прогрессии:
- Разность прогрессии (d) — это одно и то же число, которое добавляется к каждому элементу прогрессии для получения следующего элемента.
- Первый член прогрессии (a1) может быть любым числом.
- Число элементов в прогрессии равно разности прогрессии, увеличенной на единицу: n = (an — a1)/d + 1.
- Сумма первых n членов АП может быть вычислена по формуле:
Sn = (n/2)(a1 + an)
Арифметические прогрессии встречаются в математике, физике, экономике и других науках. Они широко используются для моделирования различных процессов и явлений.
Арифметическое выражение для последовательности
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается прибавлением к предыдущему элементу одного и того же числа, называемого разностью прогрессии.
Для последовательности an = 5 + 2n арифметическое выражение можно записать следующим образом:
| Элемент последовательности (an) | Выражение |
|---|---|
| a1 | 5 + 2 * 1 |
| a2 | 5 + 2 * 2 |
| a3 | 5 + 2 * 3 |
| … | … |
Таким образом, каждый элемент последовательности an можно получить, подставив значение n в выражение «5 + 2n».
Определение арифметической прогрессии
Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается из предыдущего путем прибавления к нему одного и того же числа, называемого разностью. Обычно разность обозначается буквой d.
Формула для вычисления n-го члена арифметической прогрессии:
an = a1 + (n-1)d
где:
- an — n-й член прогрессии;
- a1 — первый член прогрессии;
- d — разность прогрессии;
- n — номер члена прогрессии.
Пример арифметической прогрессии: 2, 4, 6, 8, 10. В данном примере первый член a1 равен 2, а разность d равна 2. Подставляя значения в формулу, получаем:
| n | an |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
| 4 | 8 |
| 5 | 10 |
То есть последовательность чисел 2, 4, 6, 8, 10 образует арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью 2.
Вопрос-ответ
Как доказать, что последовательность an = 5 + 2n является арифметической прогрессией?
Для доказательства того, что последовательность an = 5 + 2n является арифметической прогрессией, нужно использовать определение арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается путем прибавления одного и того же постоянного числа к предыдущему элементу. В данном случае, мы можем заметить, что каждый следующий член последовательности получается путем прибавления 2 к предыдущему члену. Таким образом, последовательность an = 5 + 2n является арифметической прогрессией.
Как найти следующие три члена последовательности an = 5 + 2n?
Для того чтобы найти следующие три члена последовательности an = 5 + 2n, нужно продолжить последовательность, прибавляя к каждому последующему члену 2. Таким образом, следующие три члена будут: a3 = 5 + 2*3 = 11, a4 = 5 + 2*4 = 13, a5 = 5 + 2*5 = 15.
Можно ли представить последовательность an = 5 + 2n в виде рекуррентной формулы?
Да, последовательность an = 5 + 2n можно представить в виде рекуррентной формулы. Рекуррентная формула — это формула, в которой каждый член последовательности вычисляется на основе предыдущих членов последовательности. В данном случае, можно записать рекуррентную формулу для этой последовательности следующим образом: a1 = 5, a(n+1) = a(n) + 2.
Каким будет 10-й элемент последовательности an = 5 + 2n?
Чтобы найти 10-й элемент последовательности an = 5 + 2n, нужно подставить значение 10 вместо переменной n в формулу и произвести вычисления. Таким образом, a10 = 5 + 2*10 = 25.