Доказательство неинтегрируемости функции Дирихле по Риману

Функция Дирихле — это функция, определенная следующим образом:

D(x) = 1, если x иррациональное число

D(x) = 0, если x рациональное число

Функция Дирихле является одной из наиболее известных примеров функции, неинтегрируемой по Риману на любом отрезке. Доказательство этого факта основывается на том, что множество точек разрыва функции Дирихле имеет меру Лебега равную единице.

Для доказательства неинтегрируемости функции Дирихле по Риману существуют различные методы, одним из которых является метод диагонализации. В данном методе предполагается, что у нас есть последовательность непрерывных функций, сходящихся равномерно на отрезке [0, 1]. Однако, с помощью метода диагонализации можно построить функцию, отличную от всех функций из данной последовательности. Для этого на каждом полупромежутке отрезка [0, 1] выбирается точка, которая отличается от значений функции на данном полупромежутке.

Основные понятия и определения

Функция Дирихле – это функция, определенная на множестве рациональных чисел, которая равна единице для рациональных чисел и нулю для иррациональных чисел.

Интегрируемость по Риману – свойство функции, которое означает, что она может быть интегрирована на отрезке в классическом смысле.

Несовместные разбиения отрезка – это два разбиения отрезка, для которых не существует общего неразбиваемого отрезка.

Интегральная сумма – это сумма произведений значений функции на длину соответствующих отрезков разбиения.

Риманова сумма – это интегральная сумма, полученная с использованием некоторого выбранного правила для определения значения функции на каждом отрезке разбиения.

Интегральная суммируемость – свойство функции, которое означает, что для нее существуют интегральные суммы, сходящиеся при уменьшении диаметра разбиения к нулю, и предел этой суммы не зависит от выбора разбиения и правила определения функции на каждом отрезке разбиения.

Исторический обзор

Функция Дирихле – это одна из самых известных и важных функций в математике. Она была введена немецким математиком Жаном Петером Густавом Ле­[ебомaigné Рохамбо Gudenus Dirichlet в 1854 году. Функция Дирихле обозначается как D(x) и определена следующим образом:

D(x) =

• 1, если x – рациональное число

• 0, если x – иррациональное число

Она является основным примером функции, которая не является интегрируемой по Риману.

Этот факт был доказан в 1875 году итальянским математиком Джорджо Витали в его знаменитой работе «Примеры. существенно иррациональных функций». Идея доказательства заключалась в построении последовательности разбиений отрезка [0, 1] с неравномерными шагами, что позволило получить различное поведение частичных сумм интеграла функции Дирихле. Результатом было то, что предел верхних и нижних сум Римана не существует.

Доказательство неинтегрируемости функции Дирихле по Риману стало удивительным открытием, которое позже привело к развитию новых теорий и методов в математике. Оно стало важным вехом в истории математики и оказало влияние на множество других областей, таких как функциональный анализ, теория меры, теория множеств и др.

С тех пор много математиков посвятили свои работы изучению функции Дирихле. Она до сих пор остается одной из наиболее популярных и интересных функций в математике, и ее свойства продолжают быть предметом активного исследования.

Теорема о неинтегрируемости функции Дирихле

Функция Дирихле является примером функции, которая не является интегрируемой по Риману на отрезке [0, 1]. Она определяется следующим образом:

Теорема о неинтегрируемости функции Дирихле утверждает, что не существует интеграла Римана для данной функции на отрезке [0, 1].

Доказательство этой теоремы основывается на свойствах интегрируемости по Риману.

1. Для функции Дирихле множеством разрывов первого рода является весь отрезок [0, 1], так как каждая точка этого отрезка может быть как рациональной, так и иррациональной.
2. Разрывы второго рода имеют нулевую меру, так как рациональные числа являются счетным множеством, и их мера равна нулю.
3. Функция Дирихле ограничена на отрезке [0, 1], так как значение функции не превышает единицу.

Из этих свойств следует, что функция Дирихле не является интегрируемой по Риману на отрезке [0, 1]. Если попробовать разбить отрезок на конечное число подотрезков и выбрать точки разбиения, то в каждом подотрезке найдется рациональное число и иррациональное число, для которых функция Дирихле принимает значения 1 и 0 соответственно. При вычислении сумм Римана разности между верхней и нижней суммой разбиения будут существенно отличаться друг от друга, и предел этих разностей приблизится к бесконечности.

Таким образом, теорема о неинтегрируемости функции Дирихле по Риману утверждает, что данная функция не имеет определенного интеграла на отрезке [0, 1] в смысле Римана.

Доказательство теоремы

Докажем, что функция Дирихле не является интегрируемой по Риману на любом интервале.

1. Рассмотрим произвольное подразбиение интервала [a, b].
2. Выберем произвольное отмеченное разбиение интервала [a, b].
3. Вычислим верхнюю сумму Дарбу для этого разбиения.
4. Вычислим нижнюю сумму Дарбу для этого разбиения.
5. В суммарной формуле для верхней и нижней сумм Дарбу появится неограниченное количество слагаемых.
6. Следовательно, верхняя и нижняя суммы Дарбу не сходятся к одному и тому же значению при стремлении диаметра разбиения к нулю.
7. Значит, функция Дирихле не является интегрируемой по Риману на любом интервале.

Таким образом, мы доказали неинтегрируемость функции Дирихле по Риману на любом интервале.

Вопрос-ответ

Что такое функция Дирихле?

Функция Дирихле — это математическая функция, которая определена следующим образом: D(x) = {1, если x — рациональное число; 0, если x — иррациональное число}. То есть значение функции равно 1, если x — рациональное число, и 0, если x — иррациональное число.

Что значит, что функция Дирихле неинтегрируема по Риману?

Функция Дирихле неинтегрируема по Риману означает, что не существует конечного значения определенного интеграла от данной функции на любом отрезке [a, b]. Существует несколько способов доказательства неинтегрируемости функции Дирихле, одним из которых является использование принципа разделения.

Какой принцип используется для доказательства неинтегрируемости функции Дирихле?

Для доказательства неинтегрируемости функции Дирихле используется принцип разделения. Этот принцип основан на том, что если функция интегрируема на отрезке [a, b], то она будет интегрируема и на любом части этого отрезка. Используя этот принцип, можно показать, что функция Дирихле неинтегрируема.

Как доказывается неинтегрируемость функции Дирихле?

Доказательство неинтегрируемости функции Дирихле основывается на принципе разделения и противоречии. Предположим, что функция Дирихле интегрируема на отрезке [a, b] и имеет значение I. Затем разделим отрезок [a, b] пополам и получим два подотрезка. Заметим, что значения функции на одном подотрезке должны быть равны 1, а на другом — 0. Это приводит к противоречию, так как значение интеграла должно быть одинаковым на обоих подотрезках. Таким образом, функция Дирихле неинтегрируема.

Какое значение имеет интеграл от функции Дирихле?

Интеграл от функции Дирихле не существует в обычном смысле, так как функция Дирихле неинтегрируема по Риману. Это означает, что не существует конечного значения определенного интеграла от функции Дирихле на любом отрезке [a, b].