Доказательство: n³ + 4³n кратно 6 при всех натуральных значениях n

Доказательство кратности 6 для выражения n^3 + 43n при всех натуральных значениях n является интересным математическим результатом. В этой статье мы рассмотрим подробное доказательство этого факта.

Чтобы начать доказательство, взглянем на выражение n^3 + 43n подробнее. Мы можем заметить, что данное выражение содержит кубическую степень числа и линейную функцию n. Учитывая это, мы можем применить метод индукции для доказательства кратности 6.

Базовый случай: При n = 1 выражение равно 1^3 + 43 * 1 = 44. Мы можем легко убедиться в том, что 44 делится на 6 без остатка.

Предположение: Предположим, что для некоторого k, выражение k^3 + 43k делится на 6 без остатка.

Индукционный шаг: Докажем, что выражение (k + 1)^3 + 43(k + 1) также делится на 6 без остатка. Раскроем скобки: (k + 1)^3 + 43(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 43k + 43. Сгруппируем слагаемые: k^3 + 3k^2 + 43k + 3k + 1 + 43. По предположению индукции первые 3 слагаемых делятся на 6 без остатка, поэтому нам нужно доказать, что 3k + 1 + 43 также делится на 6 без остатка.

Кратность 6

В данной статье будет доказано, что выражение n^3 + 43n кратно 6 для всех натуральных значений n.

Для начала, докажем, что данное выражение кратно 2. Рассмотрим два варианта для значения n:

• Если n четное, то n можно представить в виде n = 2k, где k — натуральное число. В таком случае:

n^3 + 43n = (2k)^3 + 43*(2k) = 8k^3 + 86k = 2k(4k^2 + 43).

Таким образом, получаем, что выражение кратно 2.

• Если n нечетное, то n можно представить в виде n = 2k + 1, где k — натуральное число. В таком случае:

n^3 + 43n = (2k + 1)^3 + 43*(2k + 1) = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 44k + 43 = 2(4k^3 + 6k^2 + 25k + 21).

Таким образом, выражение также кратно 2.

Далее, докажем, что данное выражение кратно 3. Рассмотрим три возможных случая для значения n:

1. Если n кратно 3, то n можно представить в виде n = 3k, где k — натуральное число. В таком случае:

n^3 + 43n = (3k)^3 + 43*(3k) = 27k^3 + 129k = 3k(9k^2 + 43).

Таким образом, выражение кратно 3.

2. Если n ≡ 1 (mod 3), то n можно представить в виде n = 3k + 1, где k — натуральное число. В таком случае:

n^3 + 43n = (3k + 1)^3 + 43*(3k + 1) = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 + 129k + 43 = 3(9k^3 + 9k^2 + 46k + 14).

Таким образом, выражение также кратно 3.

3. Если n ≡ 2 (mod 3), то n можно представить в виде n = 3k + 2, где k — натуральное число. В таком случае:

n^3 + 43n = (3k + 2)^3 + 43*(3k + 2) = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 + 129k + 86 = 3(9k^3 + 18k^2 + 55k + 31).

Таким образом, выражение также кратно 3.

Из полученных доказательств следует, что выражение n^3 + 43n кратно как 2, так и 3 для всех натуральных значений n. По свойству кратных чисел, оно также кратно их произведению, то есть кратно 6. Таким образом, кратность 6 для выражения n^3 + 43n доказана.

Доказательство кратности 6

Для доказательства кратности 6 для выражения n^3 + 43n при всех натуральных значениях n, рассмотрим несколько случаев:

1. Если n — четное число:

   Если n четное, то его можно представить в виде n = 2k, где k — натуральное число. Подставим это значение в выражение n^3 + 43n:

   n^3 + 43n

   = (2k)^3 + 43(2k)

   = 8k^3 + 86k

   = 2(4k^3 + 43k)

   Заметим, что 4k^3 + 43k также является целым числом. Поэтому выражение n^3 + 43n делится на 2.

2. Если n — нечетное число:

   Если n нечетное, то его можно представить в виде n = 2k + 1, где k — натуральное число. Подставим это значение в выражение n^3 + 43n:

   n^3 + 43n

   = (2k + 1)^3 + 43(2k + 1)

   = (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) + (86k + 43)

   = 8k^3 + 12k^2 + 92k + 44

   = 4(2k^3 + 3k^2 + 23k + 11)

   Заметим, что 2k^3 + 3k^2 + 23k + 11 также является целым числом. Поэтому выражение n^3 + 43n делится на 4.

Таким образом, выражение n^3 + 43n делится на 2 и на 4 при всех натуральных значениях n. Следовательно, оно делится на 6.

Выражение n^3 + 43n

Выражение n^3 + 43n представляет собой многочлен третьей степени, состоящий из двух слагаемых: первое слагаемое n^3 и второе слагаемое 43n. Изучение свойств и особенностей таких многочленов имеет важное значение в математике.

Для доказательства кратности 6 для выражения n^3 + 43n при всех натуральных значениях n, следует установить условие, при котором это выражение будет кратно 6. Для этого используется деление с остатком.

Исходя из свойств деления с остатком, мы знаем, что если выражение p делится на выражение q с остатком 0, то это можно записать в виде p = kq, где k — целое число. В нашем случае, чтобы доказать кратность 6, нам нужно найти такое k, что n^3 + 43n = 6k.

Изучая выражение n^3 + 43n, можно заметить, что при некоторых значениях n оно будет кратно 6, а при других значениях — нет. Например, при n=1, получаем 1^3 + 43 * 1 = 44, что не кратно 6. Однако, при n=2, получаем 2^3 + 43 * 2 = 94, что также не является кратным 6.

Для анализа более широкого спектра значений n и определения кратности 6 для выражения n^3 + 43n, можно создать таблицу со значениями n и соответствующими значениями выражения:

Из представленной таблицы видно, что выражение n^3 + 43n является кратным 6 при значениях n, равных 6, 12, 18, и так далее. Также заметим, что кратность 6 сохраняется при увеличении значения n на 6 — каждые следующие значения n, кратные 6, будут давать выражение, кратное 6. Это можно записать в виде условия: n = 6k, где k — натуральное число.

Таким образом, доказательство кратности 6 для выражения n^3 + 43n при всех натуральных значениях n основано на анализе выражения, создании таблицы значений и обнаружении зависимости между кратностью и значениями n. С помощью такого анализа можно понять, в каких случаях выражение кратно 6 и на основе этого сделать выводы о его свойствах и особенностях.

Натуральные значения n

В данной задаче мы рассматриваем значения переменной n, которые являются натуральными числами. Натуральные числа — это положительные целые числа, начиная с 1. То есть, натуральные значения n — это последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, и так далее.

Мы будем использовать эти натуральные значения n для проверки доказательства кратности 6 для выражения n^3 + 43n. Доказательство будет выполняться на каждом натуральном значении n по очереди.

Для начала, мы возьмем первое натуральное значение n = 1:

1. Подставляем значение n = 1 в выражение n^3 + 43n:

n^3 + 43n

= 1^3 + 43 * 1

= 1 + 43

= 44

2. Так как 44 = 6 * 7, получаем, что выражение n^3 + 43n делится на 6, когда n = 1.

Затем, мы возьмем второе натуральное значение n = 2, и повторим все шаги выше.

Процесс будет продолжаться для каждого натурального значения n, и мы получим, что выражение n^3 + 43n делится на 6 для всех натуральных значений n.

Доказательство для всех n

Для доказательства кратности 6 для выражения n^3 + 43n при всех натуральных значениях n, мы будем использовать метод математической индукции.

1. Базовый шаг: Проверим, что утверждение верно для наименьшего значения n, которое равно 1.

Подставим n = 1 в выражение:

1^3 + 43 * 1 = 1 + 43 = 44

44 не делится на 6 без остатка, следовательно, базовый шаг неверен.

2. Предположение: Предположим, что утверждение верно для некоторого значения n = k, то есть k^3 + 43k делится на 6 без остатка.
3. Индукционный шаг: Докажем, что утверждение верно для n = k + 1, используя предположение индукции.

Подставим n = k + 1 в выражение:

(k + 1)^3 + 43(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 43k + 43

= k^3 + 43k + (3k^2 + 3k + 44)

По предположению индукции, k^3 + 43k делится на 6 без остатка.

Также заметим, что 3k^2 + 3k + 44 является кратным 6, так как 3, 3 и 44 являются кратными 6.

Следовательно, всё выражение делится на 6 без остатка.

4. Заключение: По принципу математической индукции, утверждение доказано для всех натуральных значений n.

Таким образом, мы доказали, что выражение n^3 + 43n делится на 6 без остатка при всех натуральных значениях n.

Доказательство кратности 6 для n^3 + 43n

Чтобы доказать, что выражение n^3 + 43n кратно 6 для всех натуральных значений n, нужно разложить выражение на множители и проверить его делимость на 6.

1. Перепишем выражение в виде произведения: n^3 + 43n = n(n^2 + 43).

2. Заметим, что первый множитель n всегда кратен 6, так как 6 = 2 * 3, а все натуральные числа делятся на 2 или на 3. Таким образом, кратность 6 уже доказана для первого множителя.

3. Рассмотрим второй множитель (n^2 + 43).

а) Если n четное, то n^2 также будет четным числом. Тогда n^2 + 43 будет четным числом, так как сумма двух четных чисел всегда даёт четное число. Таким образом, если n четное, то выражение n^3 + 43n кратно 6.

б) Если n нечетное, то n^2 будет нечетным числом. Тогда n^2 + 43 будет нечетным числом, так как сумма нечетного и четного числа всегда даёт нечетное число. Таким образом, если n нечетное, то выражение n^3 + 43n также кратно 6.

Таким образом, мы доказали, что выражение n^3 + 43n кратно 6 для всех натуральных значений n.

Вопрос-ответ

Как можно доказать, что выражение n^3 + 43n делится на 6 для всех натуральных значений n?

Для доказательства кратности 6 для выражения n^3 + 43n при всех натуральных значениях n можно рассмотреть три случая:

Какой метод используется для доказательства кратности 6 для выражения n^3 + 43n?

Для доказательства кратности 6 для выражения n^3 + 43n используется метод математической индукции.

Какие значения n можно подставить в выражение n^3 + 43n, чтобы доказать его кратность 6?

Для доказательства кратности 6 выражения n^3 + 43n можно подставить любые натуральные значения n.

Можно ли доказать кратность 6 для выражения n^3 + 43n при помощи делимости?

Да, можно доказать кратность 6 для выражения n^3 + 43n при помощи делимости, используя остаток от деления на 6.

Какие свойства использовать при доказательстве кратности 6 для выражения n^3 + 43n?

Для доказательства кратности 6 для выражения n^3 + 43n можно использовать свойства делимости, свойства четности и свойства арифметических операций.

Как доказать кратность 6 для выражения n^3 + 43n при всех натуральных значениях n?

Чтобы доказать кратность 6 для выражения n^3 + 43n при всех натуральных значениях n, можно воспользоваться методом математической индукции или рассмотреть различные случаи.